A, B, C, D, E の5人を、2つのグループに分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E の5人を、2つのグループに分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、5人の中からグループ分けをする人数を選ぶことを考えます。

2つのグループに分けるということは、少なくとも1人は各グループにいないといけないので、

(1人, 4人), (2人, 3人), (3人, 2人), (4人, 1人) の組み合わせが考えられます。

ただし、(2人, 3人) と (3人, 2人)、 (1人, 4人) と (4人, 1人) は、グループの区別をしない場合は同じ分け方になります。したがって、一方だけを数えれば良いです。

5人から1人を選ぶ組み合わせは $_5C_1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5$ 通りです。

このとき、残りの4人はもう一方のグループに自動的に割り振られます。

5人から2人を選ぶ組み合わせは $_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

このとき、残りの3人はもう一方のグループに自動的に割り振られます。

したがって、5人を2つのグループに分ける方法は $5 + 10 = 15$ 通りです。

3. 最終的な答え

15通り