三角形ABCにおいて、$AB=12$, $BC=14$, $CA=16$である。角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとし、三角形ADCの外接円と辺ABとの交点のうち、Aでない方をEとする。このとき、線分BDの長さ、方べきの定理を用いたときの$BD\cdot BC$の値、および線分BEの長さを求める。次に、線分ADと線分CEの交点をP、直線BPと辺ACの交点をQとしたとき、三角形ABCの重心と内心の位置関係を答える。チェバの定理とメネラウスの定理を用いて、比を求める。最後に、辺ACの中点をMとし、線分ADと線分BMの交点をRとしたとき、比を求め、三角形BPRの面積と三角形ABCの面積の比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=12$, $BC=14$, $CA=16$である。角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとし、三角形ADCの外接円と辺ABとの交点のうち、Aでない方をEとする。このとき、線分BDの長さ、方べきの定理を用いたときの$BD\cdot BC$の値、および線分BEの長さを求める。次に、線分ADと線分CEの交点をP、直線BPと辺ACの交点をQとしたとき、三角形ABCの重心と内心の位置関係を答える。チェバの定理とメネラウスの定理を用いて、比を求める。最後に、辺ACの中点をMとし、線分ADと線分BMの交点をRとしたとき、比を求め、三角形BPRの面積と三角形ABCの面積の比を求める。

2. 解き方の手順

(1)

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 12:16 = 3:4$。

$BD + DC = BC = 14$なので、$BD = 14 \cdot \frac{3}{3+4} = 14 \cdot \frac{3}{7} = 6$。

よって、$BD = 6$。

方べきの定理より、$BE \cdot BA = BD \cdot BC$。

$BD \cdot BC = 6 \cdot 14 = 84$。

$BE \cdot BA = 84$より、$BE \cdot 12 = 84$。

したがって、$BE = \frac{84}{12} = 7$。

(2)

三角形ABCの重心は、三角形の中線の中線上にあり、中線AD上にない。三角形ABCの内心は角の二等分線上にあり、角Aの二等分線である線分AD上にある。したがって、重心は△PDCの内部にあり、内心は線分AD上にある。

チェバの定理より、$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$。

$\frac{CQ}{QA} = \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BD}{DA}$。

メネラウスの定理(△ABDと直線CEについて)より、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BP}{PD} \cdot \frac{DC}{CA} = 1$。

$\frac{DP}{PA} = \frac{AE}{EB} \cdot \frac{DC}{CA} \cdot \frac{PB}{DP} = 1$より、$\frac{DP}{PA}=\frac{AE \cdot DC}{EB \cdot CA}$。

(3)

メネラウスの定理(△AMCと直線BR)より、

$\frac{AR}{RD} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1$。

$\frac{AR}{RD} = \frac{BC}{DB} = \frac{BC}{BD}$.

$BC=14, BD=6$なので、$\frac{AR}{RD} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$。

面積比を考える。

3. 最終的な答え

ア：$6$

イ：$84$

ウ：$7$

エ：3

$\frac{CQ}{QA} = \frac{EB}{AE}$

$\frac{DP}{PA} = \frac{AE}{EB} \cdot \frac{DC}{CA}$

$\frac{AR}{RD} = \frac{7}{3}$

$\frac{\triangle BPR}{\triangle ABC}$