11人を4人、4人、3人の3つのグループに分ける場合の数を求める問題です。まず、11人から3人のグループを作る選び方を計算し、次に残りの8人を4人ずつのグループに分ける方法を計算します。最後に、これらの数を掛け合わせることで、全体の分け方の総数を求めます。

1. 問題の内容

11人を4人、4人、3人の3つのグループに分ける場合の数を求める問題です。まず、11人から3人のグループを作る選び方を計算し、次に残りの8人を4人ずつのグループに分ける方法を計算します。最後に、これらの数を掛け合わせることで、全体の分け方の総数を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1：3人のグループを選ぶ方法

11人から3人を選ぶ組み合わせの数は、$_{11}C_3$ で計算できます。

$_{11}C_3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$

したがって、3人のグループの選び方は165通りです。

ステップ2：残りの8人を4人ずつのグループに分ける方法

残りの8人を4人ずつのグループに分ける方法は、$_{8}C_4$ で計算できます。しかし、4人ずつのグループは区別できないため、2! で割る必要があります。

$_{8}C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

4人ずつのグループは区別できないので、2!で割ります。

$\frac{70}{2!} = \frac{70}{2} = 35$

したがって、残りの8人を4人ずつのグループに分ける方法は35通りです。

ステップ3：全体の分け方の総数

全体の分け方の総数は、ステップ1とステップ2の結果を掛け合わせることで求められます。

全体の分け方の総数 = 165 × 35 = 5775

3. 最終的な答え

ア: 165

イ: 35

ウ: 5775