6個のリンゴと8個のみかんを、A, B, C, Dの4人に分ける方法は何通りあるか。ただし、リンゴ、みかんを1個ももらえない人がいてもよいものとする。

1. 問題の内容

6個のリンゴと8個のみかんを、A, B, C, Dの4人に分ける方法は何通りあるか。ただし、リンゴ、みかんを1個ももらえない人がいてもよいものとする。

2. 解き方の手順

リンゴとみかんの分け方は独立に考えることができます。

まず、6個のリンゴを4人に分ける方法を考えます。これは、重複組合せの問題です。

4人のうちの誰がいくつリンゴをもらうかを考えるので、$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6$ となる非負の整数の組$(x_1, x_2, x_3, x_4)$の数を数えれば良いです。

これは、$_{n+r-1}C_r$ で計算できます。ここで、$n=4$ (人数) と $r=6$ (リンゴの数)です。

したがって、リンゴの分け方は $_{4+6-1}C_6 = _{9}C_6 = _{9}C_3$ 通りです。

$_{9}C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = 84$

次に、8個のみかんを4人に分ける方法を考えます。

同様に、$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 8$ となる非負の整数の組$(y_1, y_2, y_3, y_4)$の数を数えれば良いです。

これも重複組合せの問題で、$n=4$ (人数) と $r=8$ (みかんの数)です。

したがって、みかんの分け方は $_{4+8-1}C_8 = _{11}C_8 = _{11}C_3$ 通りです。

$_{11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = \frac{990}{6} = 165$

リンゴとみかんの分け方は独立なので、それぞれの分け方の数を掛け合わせます。

したがって、分け方の総数は $84 \times 165$ 通りです。

$84 \times 165 = 13860$

3. 最終的な答え

13860通り