1, 2, 3, 4, 5 の数字をそれぞれ1つずつ使って5桁の整数を作る。 (ア) 一の位の数が1でない整数の個数を求める。 (イ) 一の位の数が1でなく、かつ十の位の数が2でない整数の個数を求める。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5 の数字をそれぞれ1つずつ使って5桁の整数を作る。

(ア) 一の位の数が1でない整数の個数を求める。

(イ) 一の位の数が1でなく、かつ十の位の数が2でない整数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(ア)

まず、5つの数字を使って5桁の整数を作る総数は、5! = 120通りである。

次に、一の位が1である整数の個数を考える。一の位が1の場合、残りの4つの数字を並べる順列は4! = 24通りである。

したがって、一の位が1でない整数の個数は、全体の個数から一の位が1である個数を引けばよい。

$5! - 4! = 120 - 24 = 96$

(イ)

一の位が1でなく、かつ十の位が2でない整数の個数を求める。

まず、一の位が1でないという条件から、一の位として使える数字は2, 3, 4, 5 の4つである。

次に、十の位が2でないという条件を考える。

全体から条件を満たさないものを引く方法で考える。

一の位が1でない場合の数は(ア)から96通り。

このうち、十の位が2であるものを数える。

一の位が1でなく、十の位が2である数を数える。

一の位は2, 3, 4, 5 のどれか。

十の位は2。

残りの3つの数字を並べる順列は3! = 6通り。

一の位が $x$ の時を考える。ただし、$x$ は 2, 3, 4, 5 のいずれか。

もし $x = 2$ なら、十の位は 2 にできないので題意を満たさない。

十の位を 2 に固定する。一の位は1でないので、3, 4, 5のどれか。3通り。残りの百、千、万の位は残りの3つの数字で並べれば良いので、3! = 6通り。

よって、3 * 6 = 18通り。

求める個数は、一の位が1でない整数全体から、一の位が1でなく、かつ十の位が2であるものを引けばよい。

$96 - 18 = 78$

3. 最終的な答え

(ア) 96

(イ) 78