右図のA地点からB地点へ行く経路について、以下の問いに答えます。 (1) 最短経路は何通りあるか。 (2) P地点を通っていく最短経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

右図のA地点からB地点へ行く経路について、以下の問いに答えます。

(1) 最短経路は何通りあるか。

(2) P地点を通っていく最短経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) A地点からB地点への最短経路の総数を求めます。

AからBへ行くには、右に5回、上に4回移動する必要があります。

したがって、最短経路の総数は、9回の移動のうち、右への移動5回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。これは、組み合わせの公式を用いて計算できます。

最短経路の総数は $_{9}C_{5}$ で表されます。

$_{9}C_{5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通りです。

(2) A地点からP地点を通ってB地点へ行く最短経路の総数を求めます。

まず、AからPへの最短経路の数を求めます。AからPへは、右に2回、上に2回移動する必要があります。

したがって、AからPへの最短経路の数は $_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

次に、PからBへの最短経路の数を求めます。PからBへは、右に3回、上に2回移動する必要があります。

したがって、PからBへの最短経路の数は $_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

AからPを通ってBへ行く最短経路の数は、AからPへの経路数とPからBへの経路数を掛け合わせたものになります。

したがって、$6 \times 10 = 60$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 最短経路は 126 通り

(2) P地点を通っていく最短経路は 60 通り