右図のA地点からB地点へ行くときの最短経路について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 最短経路は何通りあるか。 (2) P地点を通っていく最短経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

右図のA地点からB地点へ行くときの最短経路について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 最短経路は何通りあるか。

(2) P地点を通っていく最短経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBへの最短経路の総数を求める。

AからBへ行くには、右に6回、上に4回移動する必要があります。したがって、最短経路の総数は、10回の移動のうち、右への移動6回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。これは ${10 \choose 6}$ で計算できます。

${10 \choose 6} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) AからPを通りBへ行く最短経路の数を求める。

まず、AからPへの最短経路の数を求めます。AからPへ行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。したがって、AからPへの最短経路の数は、4回の移動のうち、右への移動2回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。これは ${4 \choose 2}$ で計算できます。

${4 \choose 2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

次に、PからBへの最短経路の数を求めます。PからBへ行くには、右に4回、上に2回移動する必要があります。したがって、PからBへの最短経路の数は、6回の移動のうち、右への移動4回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。これは ${6 \choose 4}$ で計算できます。

${6 \choose 4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、AからPを通りBへ行く最短経路の数は、AからPへの経路数とPからBへの経路数を掛け合わせたものになります。

$6 \times 15 = 90$

3. 最終的な答え

(1) 最短経路は210通りある。

(2) P地点を通っていく最短経路は90通りある。