右の図において、A地点からB地点へ行く最短経路の数と、A地点からP地点を通ってB地点へ行く最短経路の数を求める問題です。

1. 問題の内容

右の図において、A地点からB地点へ行く最短経路の数と、A地点からP地点を通ってB地点へ行く最短経路の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) AからBへの最短経路の数を求めます。

AからBへは、右に5マス、上に3マス進む必要があります。したがって、合計8回の移動のうち、右への移動が5回、上への移動が3回となります。

これは、8回の移動のうちどの5回を右への移動にするかを選ぶ組み合わせと同じなので、組み合わせの式で表すと、

${}_8 C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ 通りとなります。

(2) AからPを通ってBへの最短経路の数を求めます。

まず、AからPへの最短経路の数を求めます。

AからPへは、右に2マス、上に2マス進む必要があります。したがって、合計4回の移動のうち、右への移動が2回、上への移動が2回となります。

これは、4回の移動のうちどの2回を右への移動にするかを選ぶ組み合わせと同じなので、組み合わせの式で表すと、

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りとなります。

次に、PからBへの最短経路の数を求めます。

PからBへは、右に3マス、上に1マス進む必要があります。したがって、合計4回の移動のうち、右への移動が3回、上への移動が1回となります。

これは、4回の移動のうちどの3回を右への移動にするかを選ぶ組み合わせと同じなので、組み合わせの式で表すと、

${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4$ 通りとなります。

AからPを通ってBへ行く最短経路の数は、AからPへの最短経路の数とPからBへの最短経路の数を掛け合わせたものです。

したがって、$6 \times 4 = 24$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) A地点からB地点への最短経路は 56 通り

(2) P地点を通っていく最短経路は 24 通り