6人を3つのグループに分ける方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、グループの人数は指定されていません。

1. 問題の内容

6人を3つのグループに分ける方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、グループの人数は指定されていません。

2. 解き方の手順

グループ分けの問題では、グループの人数が指定されているかどうかで解き方が異なります。今回はグループの人数が指定されていないため、以下の手順で考えます。

まず、グループ分けの人数構成を考えます。6人を3つのグループに分けるので、ありうる人数構成は以下の通りです。

* 4人、1人、1人

* 3人、2人、1人

* 2人、2人、2人

それぞれの人数構成の場合の数を計算します。

* 4人、1人、1人の場合：

まず、6人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ 通り。

残りの2人から1人を選ぶ組み合わせは ${}_2C_1 = 2$ 通り。

最後の1人は自動的に決まります。

ただし、1人のグループが区別できないので、2!で割る必要があります。

よって、 $15 \times 2 \div 2 = 15$ 通り。

* 3人、2人、1人の場合：

まず、6人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

残りの3人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り。

最後の1人は自動的に決まります。

よって、 $20 \times 3 = 60$ 通り。

* 2人、2人、2人の場合：

まず、6人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ 通り。

残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ 通り。

最後の2人は自動的に決まります。

ただし、3つの2人のグループが区別できないので、3!で割る必要があります。

よって、 $15 \times 6 \div (3 \times 2 \times 1) = 90 \div 6 = 15$ 通り。

それぞれの構成の場合の数を足し合わせます。

$15 + 60 + 15 = 90$ 通り。

3. 最終的な答え

90通り