問題は、次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めることです。 (1) 3, 4, 7, 12, 19, 28, ... (2) -2, -4, 0, -8, 8, -24, ...

1. 問題の内容

問題は、次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めることです。

(1) 3, 4, 7, 12, 19, 28, ...

(2) -2, -4, 0, -8, 8, -24, ...

2. 解き方の手順

(1) の数列について考えます。

数列の差を計算します。

4 - 3 = 1

7 - 4 = 3

12 - 7 = 5

19 - 12 = 7

28 - 19 = 9

数列の差は 1, 3, 5, 7, 9, ... となり、これは等差数列です。

この等差数列の一般項は $b_n = 2n - 1$ です。

したがって、元の数列の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)$

$a_n = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 3 + 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 3 + n(n-1) - (n-1)$

$a_n = 3 + n^2 - n - n + 1$

$a_n = n^2 - 2n + 4$

(2) の数列について考えます。

数列の差を計算します。

-4 - (-2) = -2

0 - (-4) = 4

-8 - 0 = -8

8 - (-8) = 16

-24 - 8 = -32

数列の差は -2, 4, -8, 16, -32, ... となり、これは等比数列です。

この等比数列の一般項は $b_n = -2(-2)^{n-1} = (-2)^n$ です。

したがって、元の数列の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = -2 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^k$

$a_n = -2 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^k$

これは初項 -2, 公比 -2, 項数 n-1 の等比数列の和なので、

$a_n = -2 + \frac{-2(1 - (-2)^{n-1})}{1 - (-2)}$

$a_n = -2 + \frac{-2(1 - (-2)^{n-1})}{3}$

$a_n = -2 - \frac{2}{3}(1 - (-2)^{n-1})$

$a_n = -2 - \frac{2}{3} + \frac{2}{3}(-2)^{n-1}$

$a_n = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3}(-2)^{n-1}$

$a_n = -\frac{8}{3} + \frac{(-2)^n}{3}$

$a_n = \frac{(-2)^n - 8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - 2n + 4$

(2) $a_n = \frac{(-2)^n - 8}{3}$