次の式を展開せよ。 (1) $(a+b+5)^2$ (2) $(a-b-c)^2$ (3) $(x-y+3)(x-y-3)$ (4) $(a+b+1)(a+b+2)$ (5) $(x+y-z)(x-y-z)$ (6) $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

はい、承知いたしました。画像の数式問題について、それぞれ解いていきます。

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。

(1) $(a+b+5)^2$

(2) $(a-b-c)^2$

(3) $(x-y+3)(x-y-3)$

(4) $(a+b+1)(a+b+2)$

(5) $(x+y-z)(x-y-z)$

(6) $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

2. 解き方の手順

(1) $(a+b+5)^2$

$(a+b+5)^2 = ((a+b)+5)^2$ と変形する。

$(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ を用いる。

$(a+b+5)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)(5) + 5^2$

$= a^2 + 2ab + b^2 + 10a + 10b + 25$

(2) $(a-b-c)^2$

$(a-b-c)^2 = (a+(-b)+(-c))^2$ と変形する。

$(A+B+C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CA$ を用いる。

$(a-b-c)^2 = a^2 + (-b)^2 + (-c)^2 + 2a(-b) + 2(-b)(-c) + 2(-c)a$

$= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca$

(3) $(x-y+3)(x-y-3)$

$(x-y+3)(x-y-3) = ((x-y)+3)((x-y)-3)$ と変形する。

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を用いる。

$(x-y+3)(x-y-3) = (x-y)^2 - 3^2$

$= x^2 - 2xy + y^2 - 9$

(4) $(a+b+1)(a+b+2)$

$(a+b+1)(a+b+2)$

$A = a+b$とおくと、

$(A+1)(A+2) = A^2 + 3A + 2$

$A^2 + 3A + 2 = (a+b)^2 + 3(a+b) + 2 = a^2+2ab+b^2 + 3a + 3b + 2$

(5) $(x+y-z)(x-y-z)$

$(x+y-z)(x-y-z) = (x-z+y)(x-z-y)$ と変形する。

$A = x-z$とおくと、

$(A+y)(A-y) = A^2 - y^2$

$(x-z)^2 - y^2 = x^2 - 2xz + z^2 - y^2$

$= x^2 - y^2 + z^2 - 2xz$

(6) $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

$(x^2+x+1)(x^2-x+1) = (x^2+1+x)(x^2+1-x)$ と変形する。

$A = x^2+1$とおくと、

$(A+x)(A-x) = A^2 - x^2$

$(x^2+1)^2 - x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

$= x^4 + x^2 + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + b^2 + 2ab + 10a + 10b + 25$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca$

(3) $x^2 + y^2 - 2xy - 9$

(4) $a^2 + b^2 + 2ab + 3a + 3b + 2$

(5) $x^2 - y^2 + z^2 - 2xz$

(6) $x^4 + x^2 + 1$