$a + b = 1$ のとき、等式 $a^3 + b^3 + 2 = 3\{1 - (1-a)(1-b)\}$ を証明する。

1. 問題の内容

$a + b = 1$ のとき、等式 $a^3 + b^3 + 2 = 3\{1 - (1-a)(1-b)\}$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$a+b=1$ であることから、$b = 1-a$ が成り立つ。

この式を $a^3 + b^3 + 2$ に代入して式を簡略化する。

次に、$3\{1-(1-a)(1-b)\}$ の式を簡略化する。

最後に、両辺が同じであることを示す。

$a^3 + b^3 + 2$ を簡略化する。$b=1-a$ を代入すると、

$a^3 + (1-a)^3 + 2 = a^3 + (1 - 3a + 3a^2 - a^3) + 2 = 3 - 3a + 3a^2$

$3\{1-(1-a)(1-b)\}$ を簡略化する。$b=1-a$ を代入すると、

$3\{1-(1-a)(1-(1-a))\} = 3\{1-(1-a)(a)\} = 3\{1 - (a - a^2)\} = 3(1 - a + a^2) = 3 - 3a + 3a^2$

したがって、$a^3 + b^3 + 2 = 3 - 3a + 3a^2 = 3\{1 - (1-a)(1-b)\}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a^3 + b^3 + 2 = 3\{1 - (1-a)(1-b)\}$