以下の二次方程式を解きます。 (5) $4x^2 - x = 0$ (6) $4x^2 - 12x + 9 = 0$ (7) $x^2 - 3x - 10 = 0$ (12) $x^2 - 49 = 0$ (13) $x^2 - 4x + 3 = 0$ (14) $8x^2 - x - 1 = 0$

はい、承知いたしました。示された二次方程式を解きます。

1. 問題の内容

以下の二次方程式を解きます。

(5) $4x^2 - x = 0$

(6) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

(7) $x^2 - 3x - 10 = 0$

(12) $x^2 - 49 = 0$

(13) $x^2 - 4x + 3 = 0$

(14) $8x^2 - x - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(5) $4x^2 - x = 0$

$x(4x - 1) = 0$

よって、$x = 0$ または $4x - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{4}$

(6) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

$(2x - 3)^2 = 0$

よって、$2x - 3 = 0$ より $x = \frac{3}{2}$

(7) $x^2 - 3x - 10 = 0$

$(x - 5)(x + 2) = 0$

よって、$x - 5 = 0$ または $x + 2 = 0$ より $x = 5$ または $x = -2$

(12) $x^2 - 49 = 0$

$x^2 = 49$

よって、$x = \pm \sqrt{49}$ より $x = 7$ または $x = -7$

(13) $x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

よって、$x - 1 = 0$ または $x - 3 = 0$ より $x = 1$ または $x = 3$

(14) $8x^2 - x - 1 = 0$

$(8x + \alpha)(x + \beta) = 8x^2 + (\alpha + 8\beta)x + \alpha\beta$

$\alpha + 8\beta = -1$

$\alpha \beta = -1$

$\alpha = - 8\beta -1$

$(-8\beta - 1)\beta = -1$

$-8\beta^2 - \beta = -1$

$8\beta^2 + \beta - 1 = 0$

$(8\beta - \alpha)(\beta + \alpha) = 0$

$(8x+1)(x-1/8) = 8x^2 - x - 1/8$

$(8x+\alpha)(x+\beta) = 8x^2 + x (\alpha + 8\beta) + \alpha \beta = 0$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{16}$

$(8x + \alpha)(x + \beta) = (ax - b)(cx - d) = (8x - a)(x - b)$

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(8)(-1)}}{2(8)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{16}$

解の公式を使うと、$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{16}$

3. 最終的な答え

(5) $x = 0, \frac{1}{4}$

(6) $x = \frac{3}{2}$

(7) $x = 5, -2$

(12) $x = 7, -7$

(13) $x = 1, 3$

(14) $x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{16}$