2次方程式 $x^2 - ax + (a+4) = 0$ の2つの解にそれぞれ1を加えた数を解にもつ2次方程式が、$x^2 - (a+2)x + (a^2 - a + 1) = 0$ である。このとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + (a+4) = 0$ の2つの解にそれぞれ1を加えた数を解にもつ2次方程式が、$x^2 - (a+2)x + (a^2 - a + 1) = 0$ である。このとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - ax + (a+4) = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = a$

$\alpha \beta = a + 4$

となる。

次に、$x^2 - (a+2)x + (a^2 - a + 1) = 0$ の2つの解は $\alpha + 1, \beta + 1$ であるから、解と係数の関係より、

$(\alpha + 1) + (\beta + 1) = a + 2$

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = a^2 - a + 1$

となる。

$(\alpha + 1) + (\beta + 1) = a + 2$ より、

$\alpha + \beta + 2 = a + 2$

$\alpha + \beta = a$

これは既にわかっていることである。

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = a^2 - a + 1$ より、

$\alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = a^2 - a + 1$

$a + 4 + a + 1 = a^2 - a + 1$

$2a + 5 = a^2 - a + 1$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a - 4)(a + 1) = 0$

$a = 4, -1$

$a = 4$ のとき、

$x^2 - 4x + 8 = 0$ の解は $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = 2 \pm 2i$

$x^2 - 6x + 13 = 0$ の解は $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} = 3 \pm 2i$

$2 + 1 = 3$ なので、解に1を加えた数がもう一方の解になっていることがわかる。

$a = -1$ のとき、

$x^2 + x + 3 = 0$ の解は $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

$x^2 - x + 3 = 0$ の解は $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

$\frac{-1 + i\sqrt{11}}{2} + 1 = \frac{1 + i\sqrt{11}}{2}$ となり、解に1を加えた数がもう一方の解になっていることがわかる。

3. 最終的な答え

$a = 4, -1$