与えられた数列の隣り合う項の差を計算します。 $3 - 1 = 2$, $7 - 3 = 4$, $13 - 7 = 6$, $21 - 13 = 8$ したがって、階差数列は $2, 4, 6, 8, \dots$ となります。

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1. 問題の内容

2つの問題があります。

**問題7:** 数列 $\{a_n\}$ が $1, 3, 7, 13, 21, \dots$ と与えられたとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

**問題8:** 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

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2. 解き方の手順

**問題7:**

この数列は階差数列を利用して一般項を求めることができます。

1. 階差数列を求める：

与えられた数列の隣り合う項の差を計算します。

$3 - 1 = 2$, $7 - 3 = 4$, $13 - 7 = 6$, $21 - 13 = 8$

したがって、階差数列は $2, 4, 6, 8, \dots$ となります。

2. 階差数列の一般項を求める：

階差数列は初項が2、公差が2の等差数列なので、その一般項 $b_n$ は

$b_n = 2 + (n-1) \cdot 2 = 2n$

となります。

3. 元の数列の一般項を求める：

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、初項 $a_1$ と階差数列の一般項 $b_n$ を用いて、

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

と表されます。

$a_1 = 1$ であり、$b_k = 2k$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$

4. $n=1$ の場合を確認する：

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ となり、与えられた数列の初項と一致します。したがって、一般項は $n \geq 1$ で成り立ちます。

**問題8:**

数列の和 $S_n$ が与えられている場合、一般項 $a_n$ は以下の手順で求めることができます。

1. $a_1$ を求める：

$a_1 = S_1$ なので、$S_1 = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$

したがって、$a_1 = 3$ です。

2. $n \geq 2$ のとき、$a_n$ を求める：

$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

$S_n = n^2 + 2n$ より、$S_{n-1} = (n-1)^2 + 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 = n^2 - 1$

したがって、$a_n = (n^2 + 2n) - (n^2 - 1) = 2n + 1$

3. $n=1$ の場合を確認する：

$n=1$ のとき、$a_1 = 2(1) + 1 = 3$ となり、1で求めた値と一致します。したがって、一般項は $n \geq 1$ で成り立ちます。

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3. 最終的な答え

**問題7:**

$a_n = n^2 - n + 1$

**問題8:**

$a_n = 2n + 1$