等差数列 $\{a_n\}$ において、初項から第5項までの和が250、初項から第20項までの和が-50である。 (1) 初項 $a$ と公差 $d$ を求めよ。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和が最大となるような $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ において、初項から第5項までの和が250、初項から第20項までの和が-50である。

(1) 初項 $a$ と公差 $d$ を求めよ。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和が最大となるような $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の和の公式を利用する。初項 $a$、公差 $d$、項数 $n$ の等差数列の和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$

で表される。

初項から第5項までの和が250なので、

$\frac{5}{2}(2a + 4d) = 250$

$5(a + 2d) = 250$

$a + 2d = 50$ ...(1)

初項から第20項までの和が-50なので、

$\frac{20}{2}(2a + 19d) = -50$

$10(2a + 19d) = -50$

$2a + 19d = -5$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(2) - 2 × (1) より、

$2a + 19d - 2(a + 2d) = -5 - 2(50)$

$2a + 19d - 2a - 4d = -5 - 100$

$15d = -105$

$d = -7$

(1)に $d = -7$ を代入すると、

$a + 2(-7) = 50$

$a - 14 = 50$

$a = 64$

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が最大となるのは、 $a_n > 0$ かつ $a_{n+1} \le 0$ となる $n$ である。

$a_n = a + (n-1)d = 64 + (n-1)(-7) > 0$

$64 - 7n + 7 > 0$

$71 - 7n > 0$

$7n < 71$

$n < \frac{71}{7} \approx 10.14$

また、$a_{n+1} = a + nd = 64 + n(-7) \le 0$

$64 - 7n \le 0$

$7n \ge 64$

$n \ge \frac{64}{7} \approx 9.14$

したがって、$9.14 \le n < 10.14$ を満たす整数 $n$ は $n=10$ である。

3. 最終的な答え

(1) 初項 $a = 64$, 公差 $d = -7$

(2) $n = 10$