袋の中に白球4個、赤球2個が入っている。 (1) この袋から3個の球を同時に取り出すとき、 - 白球を3個取り出す確率を求める。 - 白球を2個、赤球を1個取り出す確率を求める。 - 取り出す白球の個数の期待値を求める。 (2) A, Bが袋から球を取り出すゲームを行う。 - Aが3個、Bが2個の球を取り出し、白球の個数で勝敗を決める。引き分けの場合もある。 - 1セット目はAが先、2セット目はBが先、3セット目はAが先とする。 - 1セット目で引き分けになる確率、Bが勝つ確率、Aが勝つ確率を求める。 - 3セット全てでAが負ける確率を求める。 - Aが3セットで合計6個の赤球を取り出したという条件の下で、Aが3セットとも負けた条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白球4個、赤球2個が入っている。

(1) この袋から3個の球を同時に取り出すとき、

- 白球を3個取り出す確率を求める。

- 白球を2個、赤球を1個取り出す確率を求める。

- 取り出す白球の個数の期待値を求める。

(2) A, Bが袋から球を取り出すゲームを行う。

- Aが3個、Bが2個の球を取り出し、白球の個数で勝敗を決める。引き分けの場合もある。

- 1セット目はAが先、2セット目はBが先、3セット目はAが先とする。

- 1セット目で引き分けになる確率、Bが勝つ確率、Aが勝つ確率を求める。

- 3セット全てでAが負ける確率を求める。

- Aが3セットで合計6個の赤球を取り出したという条件の下で、Aが3セットとも負けた条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 白球を3個取り出す確率は、${}_4C_3 / {}_6C_3 = 4 / 20 = 1/5$

* 白球を2個、赤球を1個取り出す確率は、${}_4C_2 \times {}_2C_1 / {}_6C_3 = (6 \times 2) / 20 = 12/20 = 3/5$

* 白球の個数の期待値は、

* 白球3個：確率 $1/5$

* 白球2個：確率 $3/5$

* 白球1個：確率 ${}_4C_1 \times {}_2C_2 / {}_6C_3 = 4/20 = 1/5$

* 白球0個：確率 $0$

期待値 $= 3 \times (1/5) + 2 \times (3/5) + 1 \times (1/5) + 0 = (3 + 6 + 1)/5 = 10/5 = 2$

(2)

* 引き分けになるのは、AとBが取り出した白球の個数が同じ時である。

* Aが白球3個、Bが白球2個の場合。

* Aが白球2個、Bが白球1個の場合。

* Aが白球1個、Bが白球0個の場合。

* Aが白球3個を取り出す確率は $1/5$ 。このとき、残りの球は白球1個、赤球2個。Bが白球2個を取り出す確率は $0$。

* Aが白球2個、赤球1個を取り出す確率は $3/5$ 。このとき、残りの球は白球2個、赤球1個。Bが白球1個、赤球1個を取り出す確率は ${}_2C_1 \times {}_1C_1 / {}_3C_2 = 2/3$。よって、確率は $(3/5) \times (2/3) = 2/5$

* Aが白球1個、赤球2個を取り出す確率は ${}_4C_1 \times {}_2C_2 / {}_6C_3 = 4/20 = 1/5$ 。このとき、残りの球は白球3個。Bが白球0個を取り出す確率は $0$。

したがって、引き分けになる確率は $2/5$

* Bが勝つのは、AよりBの白球の数が多い時である。Aが白球3個を取り出した時、Bは必ず負ける。 Aが白球2個を取り出した場合、Bが白球2個を取り出すときBが勝ち、確率は $\frac{3}{5} \times \frac{{}_2C_2}{{}_3C_2} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$。Aが白球1個を取り出した場合、Bは白球1個または2個取り出す場合があるので、Bが勝つ確率は $\frac{1}{5} \times \frac{{}_3C_2}{{}_3C_2} = \frac{1}{5} \times 1 = \frac{1}{5}$。Aが白球0個の場合、Bは白球1個または2個取り出すのでBは勝つ。確率は

0. したがって、Bが勝つ確率は $(3/5) \times (1/3) + (1/5) \times 1 = 1/5 + 0 = 1/5$。

Bが2個とも白球だった場合、Aが白球2個と赤球1個だった場合のみ発生する。 Bが勝つ確率は $\frac{1}{5}$

* Aが勝つ確率は $1 - (2/5 + 1/5) = 2/5$

* Aが3セットとも負ける確率

1セット目にAが負ける確率は $1/5$

2セット目にAが負ける確率は $4C_1 / 5C_2 = 4/10= 2/5$

3セット目にAが負ける確率は $1/5$

Aが３セットとも負ける確率は $\frac{1}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{125}$

* Aが3セットで合計6個の赤球を取り出したという条件の下で、Aが3セットとも負けた条件付き確率。

Aが赤球を6個とるということは、Aは毎回赤球を2個とるということ。つまり、Aは毎回負けている。したがって、Aが赤球を6個取り出した場合は、Aは3回負けるということである。Aが3回とも負ける中で、Aが赤球を6個取り出す確率を求めれば良い。

$P(A負け|赤球6) = \frac{P(赤球6|A負け)P(A負け)}{P(赤球6)}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{5}$

イ: $\frac{3}{5}$

ウ: $2$

エ: $\frac{2}{5}$

オ: $\frac{1}{5}$

カ: $\frac{2}{5}$

キ: $\frac{1}{5}$

ク: $\frac{2}{5}$

ケ: $\frac{2}{125}$

コ: $1$