駄菓子屋の1日の販売個数 $X$ は確率変数で、期待値 $E[X] = 250$、分散 $V[X] = 80$ である。1個当たりの利益は10円、固定費用は1日あたり1000円である。1日あたりの利益額の分散を求める。

1. 問題の内容

駄菓子屋の1日の販売個数 $X$ は確率変数で、期待値 $E[X] = 250$、分散 $V[X] = 80$ である。1個当たりの利益は10円、固定費用は1日あたり1000円である。1日あたりの利益額の分散を求める。

2. 解き方の手順

まず、1日の利益額 $Y$ を $X$ を用いて表す。

1日の利益額は、販売個数 $X$ に1個当たりの利益10円を掛けたものから固定費用1000円を引いたものなので、

$Y = 10X - 1000$ となる。

次に、確率変数 $aX + b$ の分散の公式を使う。

$V[aX + b] = a^2 V[X]$

これを用いると、

$V[Y] = V[10X - 1000] = 10^2 V[X] = 100 V[X]$

問題文より、$V[X] = 80$ なので、

$V[Y] = 100 \times 80 = 8000$

3. 最終的な答え

8000