2点 $A(2, 1)$ と $B(4, -3)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

2点 $A(2, 1)$ と $B(4, -3)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式を求めるには、円の中心の座標と半径が必要です。

ステップ1：円の中心を求める。円の中心は、直径の両端の中点であるため、2点 $A(2, 1)$ と $B(4, -3)$ の中点を求めます。中点の公式は $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ です。

円の中心の座標は、

$\left(\frac{2 + 4}{2}, \frac{1 + (-3)}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (3, -1)$

ステップ2：円の半径を求める。円の半径は、円の中心から円周上の点までの距離です。ここでは、中心 $(3, -1)$ と点 $A(2, 1)$ 間の距離を求めます。距離の公式は $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ です。

円の半径は、

$\sqrt{(2 - 3)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

ステップ3：円の方程式を立てる。円の方程式の一般形は $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ で、ここで $(h, k)$ は円の中心の座標、$r$ は円の半径です。中心 $(3, -1)$、半径 $\sqrt{5}$ を代入します。

$(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 5$

3. 最終的な答え

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 5$