(4) 方程式 $3x - 7y = 4$ の全ての整数解を求めよ。ただし、$x=6$ が一つの解であることがわかっている。空欄を埋めて解を求める。 (5) (1) 5進数 $2022_{(5)}$ を10進数に変換する。 (2) 10進数 $46$ を2進数と3進数に変換する。

1. 問題の内容

(4) 方程式 $3x - 7y = 4$ の全ての整数解を求めよ。ただし、$x=6$ が一つの解であることがわかっている。空欄を埋めて解を求める。

(5) (1) 5進数 $2022_{(5)}$ を10進数に変換する。

(2) 10進数 $46$ を2進数と3進数に変換する。

2. 解き方の手順

(4)

* $x = 6$ を $3x - 7y = 4$ に代入すると、 $3(6) - 7y = 4$ となる。これから、 $18 - 7y = 4$ より、 $7y = 14$ なので、$y = 2$ とわかる。したがって、 $y$ の空欄は2である。

* $3(x - 6) - 7(y - 2) = 0$ より、$3(x - 6) = 7(y - 2)$ が得られる。

* 3と7は互いに素であるから、$x - 6$ は7の倍数である。したがって、$x - 6 = 7k$ と表せる。よって、 $x = 7k + 6$ である。

* $3(7k) = 7(y - 2)$ より、$3k = y - 2$ となるので、$y = 3k + 2$ とわかる。

(5)

* $2022_{(5)}$ を10進数に変換する。$2022_{(5)} = 2 \times 5^3 + 0 \times 5^2 + 2 \times 5^1 + 2 \times 5^0 = 2 \times 125 + 0 \times 25 + 2 \times 5 + 2 \times 1 = 250 + 0 + 10 + 2 = 262$.

* $46$ を2進数に変換する。

* $46 \div 2 = 23$ あまり $0$

* $23 \div 2 = 11$ あまり $1$

* $11 \div 2 = 5$ あまり $1$

* $5 \div 2 = 2$ あまり $1$

* $2 \div 2 = 1$ あまり $0$

* $1 \div 2 = 0$ あまり $1$

よって、$46_{(10)} = 101110_{(2)}$.

* $46$ を3進数に変換する。

* $46 \div 3 = 15$ あまり $1$

* $15 \div 3 = 5$ あまり $0$

* $5 \div 3 = 1$ あまり $2$

* $1 \div 3 = 0$ あまり $1$

よって、$46_{(10)} = 1201_{(3)}$.

3. 最終的な答え

(4)

$x = 6, y = 2$

$3(x - 6) = 7(y - 2)$

$x - 6$ は $7$ の倍数であり、$x - 6 = 7k$

$x = 7k + 6, y = 3k + 2$

(5)

$2022_{(5)} = 262_{(10)}$

$46_{(10)} = 101110_{(2)}$

$46_{(10)} = 1201_{(3)}$