(4) 方程式 $3x - 7y = 4$ の全ての整数解を求めよ。ただし、$x=6$ が一つの解であることがわかっている。空欄を埋めて解を求める。 (5) (1) 5進数 $2022_{(5)}$ を10進数に変換する。 (2) 10進数 $46$ を2進数と3進数に変換する。

数論不定方程式整数解進数変換基数変換
2025/5/4

1. 問題の内容

(4) 方程式 3x7y=43x - 7y = 4 の全ての整数解を求めよ。ただし、x=6x=6 が一つの解であることがわかっている。空欄を埋めて解を求める。
(5) (1) 5進数 2022(5)2022_{(5)} を10進数に変換する。
(2) 10進数 4646 を2進数と3進数に変換する。

2. 解き方の手順

(4)
* x=6x = 63x7y=43x - 7y = 4 に代入すると、 3(6)7y=43(6) - 7y = 4 となる。これから、 187y=418 - 7y = 4 より、 7y=147y = 14 なので、y=2y = 2 とわかる。したがって、 yy の空欄は2である。
* 3(x6)7(y2)=03(x - 6) - 7(y - 2) = 0 より、3(x6)=7(y2)3(x - 6) = 7(y - 2) が得られる。
* 3と7は互いに素であるから、x6x - 6 は7の倍数である。したがって、x6=7kx - 6 = 7k と表せる。よって、 x=7k+6x = 7k + 6 である。
* 3(7k)=7(y2)3(7k) = 7(y - 2) より、3k=y23k = y - 2 となるので、y=3k+2y = 3k + 2 とわかる。
(5)
* 2022(5)2022_{(5)} を10進数に変換する。2022(5)=2×53+0×52+2×51+2×50=2×125+0×25+2×5+2×1=250+0+10+2=2622022_{(5)} = 2 \times 5^3 + 0 \times 5^2 + 2 \times 5^1 + 2 \times 5^0 = 2 \times 125 + 0 \times 25 + 2 \times 5 + 2 \times 1 = 250 + 0 + 10 + 2 = 262.
* 4646 を2進数に変換する。
* 46÷2=2346 \div 2 = 23 あまり 00
* 23÷2=1123 \div 2 = 11 あまり 11
* 11÷2=511 \div 2 = 5 あまり 11
* 5÷2=25 \div 2 = 2 あまり 11
* 2÷2=12 \div 2 = 1 あまり 00
* 1÷2=01 \div 2 = 0 あまり 11
よって、46(10)=101110(2)46_{(10)} = 101110_{(2)}.
* 4646 を3進数に変換する。
* 46÷3=1546 \div 3 = 15 あまり 11
* 15÷3=515 \div 3 = 5 あまり 00
* 5÷3=15 \div 3 = 1 あまり 22
* 1÷3=01 \div 3 = 0 あまり 11
よって、46(10)=1201(3)46_{(10)} = 1201_{(3)}.

3. 最終的な答え

(4)
x=6,y=2x = 6, y = 2
3(x6)=7(y2)3(x - 6) = 7(y - 2)
x6x - 677 の倍数であり、x6=7kx - 6 = 7k
x=7k+6,y=3k+2x = 7k + 6, y = 3k + 2
(5)
2022(5)=262(10)2022_{(5)} = 262_{(10)}
46(10)=101110(2)46_{(10)} = 101110_{(2)}
46(10)=1201(3)46_{(10)} = 1201_{(3)}

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