点A(0, 0)と点B(5, 0)からの距離の比が2:3である点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(0, 0)と点B(5, 0)からの距離の比が2:3である点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とします。

点A(0, 0)と点B(5, 0)からの距離の比が2:3であることから、

AP : BP = 2 : 3

が成り立ちます。これは、

3AP = 2BP

と書き換えることができます。

APとBPをそれぞれ座標で表すと、

$AP = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

$BP = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + y^2}$

となります。

これらを3AP = 2BPに代入すると、

$3\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{(x - 5)^2 + y^2}$

となります。両辺を2乗すると、

$9(x^2 + y^2) = 4((x - 5)^2 + y^2)$

$9x^2 + 9y^2 = 4(x^2 - 10x + 25 + y^2)$

$9x^2 + 9y^2 = 4x^2 - 40x + 100 + 4y^2$

$5x^2 + 40x + 5y^2 = 100$

$x^2 + 8x + y^2 = 20$

$(x + 4)^2 - 16 + y^2 = 20$

$(x + 4)^2 + y^2 = 36$

これは、中心が(-4, 0)、半径が6の円の方程式です。

3. 最終的な答え

求める軌跡は、中心が(-4, 0)、半径が6の円です。

$(x + 4)^2 + y^2 = 36$