円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = -x + 7$ の共有点の個数を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = -x + 7$ の共有点の個数を求める。

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数は、円の方程式と直線の方程式を連立させて得られる2次方程式の判別式によって決まります。

まず、直線の方程式を円の方程式に代入します。

$x^2 + (-x + 7)^2 = 3$

$x^2 + (x^2 - 14x + 49) = 3$

$2x^2 - 14x + 46 = 0$

$x^2 - 7x + 23 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (-7)^2 - 4(1)(23) = 49 - 92 = -43$

$D < 0$ なので、この2次方程式は実数解を持ちません。

したがって、円と直線は共有点を持ちません。

3. 最終的な答え

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