与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、この式を整理します。$a$について整理してみます。

$a^2b - a^2c - b^2a + c^2a + b^2c - c^2b = (b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c - c^2b)$

さらに変形します。

$(b-c)a^2 + (c-b)(c+b)a + bc(b-c) = (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$が共通因数なのでくくりだします。

$(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc) = (b-c)(a^2 - ba - ca + bc)$

さらに、$a^2 - ba - ca + bc$を因数分解します。

$(b-c)(a(a-b) - c(a-b)) = (b-c)(a-b)(a-c)$

通常、循環するように$(a-b)(b-c)(c-a)$と書きます。符号に注意すると、

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

与えられた式を因数分解した結果は $-(a-b)(b-c)(c-a)$ です。