行列 $A$ は $m \times n$ 行列、$B$ は $n \times r$ 行列、$C$ は $r \times s$ 行列である。$P = AB$、$Q = BC$ とする。 (1) $P$ と $Q$ の型を示し、それぞれの $(i, j)$ 成分を $A, B, C$ の成分 $a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$ を用いた式で表す。 (2) $PC$ と $AQ$ の $(i, j)$ 成分を $A, B, C$ の成分を用いて表す。

1. 問題の内容

行列 $A$ は $m \times n$ 行列、$B$ は $n \times r$ 行列、$C$ は $r \times s$ 行列である。$P = AB$、$Q = BC$ とする。

(1) $P$ と $Q$ の型を示し、それぞれの $(i, j)$ 成分を $A, B, C$ の成分 $a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$ を用いた式で表す。

(2) $PC$ と $AQ$ の $(i, j)$ 成分を $A, B, C$ の成分を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

行列の積の定義より、$P = AB$ の型は $m \times r$ であり、$Q = BC$ の型は $n \times s$ である。

$P$ の $(i, j)$ 成分 $p_{ij}$ は、

$$$$

p_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

$$$$

となる。

$Q$ の $(i, j)$ 成分 $q_{ij}$ は、

$$$$

q_{ij} = \sum_{k=1}^{r} b_{ik} c_{kj}

$$$$

となる。

(2)

$PC$ の型は $m \times s$ であり、その $(i, j)$ 成分を $(pc)_{ij}$ とすると、

$$$$

(pc)_{ij} = \sum_{k=1}^{r} p_{ik} c_{kj} = \sum_{k=1}^{r} \left(\sum_{l=1}^{n} a_{il} b_{lk}\right) c_{kj} = \sum_{k=1}^{r} \sum_{l=1}^{n} a_{il} b_{lk} c_{kj}

$$$$

となる。

$AQ$ の型は $m \times s$ であり、その $(i, j)$ 成分を $(aq)_{ij}$ とすると、

$$$$

(aq)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} q_{kj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \left(\sum_{l=1}^{r} b_{kl} c_{lj}\right) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{r} a_{ik} b_{kl} c_{lj}

$$$$

となる。

3. 最終的な答え

(1)

$P$ の型: $m \times r$

$P$ の $(i, j)$ 成分: $p_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$

$Q$ の型: $n \times s$

$Q$ の $(i, j)$ 成分: $q_{ij} = \sum_{k=1}^{r} b_{ik} c_{kj}$

(2)

$PC$ の $(i, j)$ 成分: $(pc)_{ij} = \sum_{k=1}^{r} \sum_{l=1}^{n} a_{il} b_{lk} c_{kj}$

$AQ$ の $(i, j)$ 成分: $(aq)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{r} a_{ik} b_{kl} c_{lj}$