与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

2x2行列の逆行列は、以下の公式を用いて求めることができます。

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ は、行列式 $det(A) = ad - bc$ が0でないとき、次のように求められます。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

まず、与えられた行列 $A$ の行列式を計算します。

$det(A) = (-3) \cdot 4 - 2 \cdot (-5) = -12 + 10 = -2$

次に、逆行列の公式を用いて $A^{-1}$ を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$