与えられた4つの2次関数のそれぞれについて、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = 2x^2$ ($1 \le x \le 2$) (2) $y = x^2 + 4x - 1$ ($-4 \le x \le -1$) (3) $y = -x^2 + 8x - 11$ ($2 \le x \le 3$) (4) $y = 2x^2 + 4x + 1$ ($-2 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数のそれぞれについて、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = 2x^2$ ($1 \le x \le 2$)

(2) $y = x^2 + 4x - 1$ ($-4 \le x \le -1$)

(3) $y = -x^2 + 8x - 11$ ($2 \le x \le 3$)

(4) $y = 2x^2 + 4x + 1$ ($-2 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2$ ($1 \le x \le 2$)

この関数は下に凸な放物線であり、$x=0$で最小値0を取ります。

定義域 $1 \le x \le 2$ では、$x$ が増加するにつれて $y$ も増加します。

したがって、$x=1$ で最小値、$x=2$ で最大値を取ります。

$x=1$ のとき、$y = 2(1)^2 = 2$

$x=2$ のとき、$y = 2(2)^2 = 8$

(2) $y = x^2 + 4x - 1$ ($-4 \le x \le -1$)

まず、平方完成を行います。

$y = (x+2)^2 - 5$

この関数は下に凸な放物線であり、頂点は $(-2, -5)$ です。

定義域 $-4 \le x \le -1$ に頂点 $x=-2$ が含まれているので、そこで最小値を取ります。

$x=-2$ のとき、$y = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$

定義域の端点 $x=-4$ と $x=-1$ での $y$ の値を計算し、大きい方を最大値とします。

$x=-4$ のとき、$y = (-4)^2 + 4(-4) - 1 = 16 - 16 - 1 = -1$

$x=-1$ のとき、$y = (-1)^2 + 4(-1) - 1 = 1 - 4 - 1 = -4$

したがって、最大値は $-1$ です。

(3) $y = -x^2 + 8x - 11$ ($2 \le x \le 3$)

まず、平方完成を行います。

$y = -(x-4)^2 + 5$

この関数は上に凸な放物線であり、頂点は $(4, 5)$ です。

頂点の $x$ 座標 $x=4$ は定義域 $2 \le x \le 3$ の外にあるため、定義域の端点で最大値または最小値を取ります。

$x=2$ のとき、$y = -(2)^2 + 8(2) - 11 = -4 + 16 - 11 = 1$

$x=3$ のとき、$y = -(3)^2 + 8(3) - 11 = -9 + 24 - 11 = 4$

したがって、最大値は $4$、最小値は $1$ です。

(4) $y = 2x^2 + 4x + 1$ ($-2 \le x \le 1$)

まず、平方完成を行います。

$y = 2(x+1)^2 - 1$

この関数は下に凸な放物線であり、頂点は $(-1, -1)$ です。

定義域 $-2 \le x \le 1$ に頂点 $x=-1$ が含まれているので、そこで最小値を取ります。

$x=-1$ のとき、$y = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$

定義域の端点 $x=-2$ と $x=1$ での $y$ の値を計算し、大きい方を最大値とします。

$x=-2$ のとき、$y = 2(-2)^2 + 4(-2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$

$x=1$ のとき、$y = 2(1)^2 + 4(1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7$

したがって、最大値は $7$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 8, 最小値: 2

(2) 最大値: -1, 最小値: -5

(3) 最大値: 4, 最小値: 1

(4) 最大値: 7, 最小値: -1