与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標が$(-1, 4)$で、点$(1, 16)$を通る。 (2) 頂点の座標が$(4, -5)$で、点$(2, -9)$を通る。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標が$(-1, 4)$で、点$(1, 16)$を通る。

(2) 頂点の座標が$(4, -5)$で、点$(2, -9)$を通る。

2. 解き方の手順

2次関数の頂点の座標が$(p, q)$であるとき、2次関数は

$y = a(x - p)^2 + q$

と表されます。

この式に与えられた頂点の座標を代入し、さらに通る点の座標を代入することで、$a$の値を求めます。

(1) 頂点が$(-1, 4)$であるから、2次関数は

$y = a(x + 1)^2 + 4$

と表せる。

点$(1, 16)$を通るので、

$16 = a(1 + 1)^2 + 4$

$16 = 4a + 4$

$4a = 12$

$a = 3$

したがって、2次関数は

$y = 3(x + 1)^2 + 4 = 3(x^2 + 2x + 1) + 4 = 3x^2 + 6x + 3 + 4 = 3x^2 + 6x + 7$

(2) 頂点が$(4, -5)$であるから、2次関数は

$y = a(x - 4)^2 - 5$

と表せる。

点$(2, -9)$を通るので、

$-9 = a(2 - 4)^2 - 5$

$-9 = 4a - 5$

$4a = -4$

$a = -1$

したがって、2次関数は

$y = -(x - 4)^2 - 5 = -(x^2 - 8x + 16) - 5 = -x^2 + 8x - 16 - 5 = -x^2 + 8x - 21$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 + 6x + 7$

(2) $y = -x^2 + 8x - 21$