全体集合$U = \{x \mid 1 \leq x \leq 10, x \text{は整数}\}$の部分集合$A$, $B$について、以下の条件が与えられている。 $A \cap B = \{3, 6, 8\}$ $A \cap \overline{B} = \{1, 10\}$ $\overline{A} \cap B = \{4, 5, 7\}$ このとき、集合$A$, $B$, $A \cup B$を求める。

1. 問題の内容

全体集合$U = \{x \mid 1 \leq x \leq 10, x \text{は整数}\}$の部分集合$A$, $B$について、以下の条件が与えられている。

$A \cap B = \{3, 6, 8\}$

$A \cap \overline{B} = \{1, 10\}$

$\overline{A} \cap B = \{4, 5, 7\}$

このとき、集合$A$, $B$, $A \cup B$を求める。

2. 解き方の手順

まず、全体集合$U$を明示すると、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$となる。

$A \cap B$は$A$にも$B$にも含まれる要素の集合、$A \cap \overline{B}$は$A$には含まれるが$B$には含まれない要素の集合、$\overline{A} \cap B$は$A$には含まれないが$B$には含まれる要素の集合を表す。

集合$A$は、$A \cap B$と$A \cap \overline{B}$の和集合で表される。したがって、

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{3, 6, 8\} \cup \{1, 10\} = \{1, 3, 6, 8, 10\}$

集合$B$は、$A \cap B$と$\overline{A} \cap B$の和集合で表される。したがって、

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{3, 6, 8\} \cup \{4, 5, 7\} = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

集合$A \cup B$は、$A$または$B$に含まれる要素の集合であり、$A$と$B$の和集合である。

$A \cup B = \{1, 3, 6, 8, 10\} \cup \{3, 4, 5, 6, 7, 8\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$

3. 最終的な答え

$A = \{1, 3, 6, 8, 10\}$

$B = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

$A \cup B = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$