等比数列をなす3つの実数があり、それらの和が19、積が216である。この3つの実数を求める。

1. 問題の内容

等比数列をなす3つの実数があり、それらの和が19、積が216である。この3つの実数を求める。

2. 解き方の手順

3つの実数を $a/r, a, ar$ とおく。（$r$ は公比、$a$は真ん中の数）

これらの和と積について、以下の式が成り立つ。

$a/r + a + ar = 19$

$(a/r) \cdot a \cdot ar = 216$

積の式から $a^3 = 216$ となる。

したがって、$a = \sqrt[3]{216} = 6$ である。

$a = 6$ を和の式に代入すると、

$6/r + 6 + 6r = 19$

$6/r + 6r = 13$

両辺に $r$ を掛けると、

$6 + 6r^2 = 13r$

$6r^2 - 13r + 6 = 0$

この2次方程式を解く。

$(2r - 3)(3r - 2) = 0$

$r = 3/2$ または $r = 2/3$

(i) $r = 3/2$ のとき、3つの実数は

$a/r = 6/(3/2) = 6 \cdot (2/3) = 4$

$a = 6$

$ar = 6 \cdot (3/2) = 9$

したがって、3つの実数は $4, 6, 9$。

(ii) $r = 2/3$ のとき、3つの実数は

$a/r = 6/(2/3) = 6 \cdot (3/2) = 9$

$a = 6$

$ar = 6 \cdot (2/3) = 4$

したがって、3つの実数は $9, 6, 4$。

どちらの場合も同じ3つの数になるので、$4, 6, 9$ が答えである。

3. 最終的な答え

4, 6, 9