$\sqrt{24x-48}$ が正の整数となるような整数 $x$ のうち、最小のものを求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{24x-48}$ が正の整数となるような整数 $x$ のうち、最小のものを求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{24x-48}$ が正の整数になるためには、$24x-48$ が平方数でなければなりません。言い換えると、$24x-48 = n^2$ となる正の整数 $n$ が存在する必要があります。

まず、$24x - 48$ を簡単にします。

$24x - 48 = 24(x-2)$

したがって、$\sqrt{24(x-2)}$ が正の整数となるような $x$ を探します。

つまり、$24(x-2)$ は平方数でなければなりません。

$24 = 2^3 \times 3$ なので、$24(x-2) = 2^3 \times 3 \times (x-2)$ が平方数になるためには、$x-2$ は $2 \times 3 \times k^2 = 6k^2$ ($k$は正の整数) の形でなければなりません。したがって、$x - 2 = 6k^2$ です。

$x = 6k^2 + 2$

$x$ は整数なので、$k$ も整数です。$x$ が最小になるのは、$k$ が最小の正の整数であるときです。$k = 1$ のとき、$x = 6(1)^2 + 2 = 6 + 2 = 8$ です。

このとき、$24x - 48 = 24(8) - 48 = 192 - 48 = 144 = 12^2$ なので、$\sqrt{24x-48} = \sqrt{144} = 12$ となり、正の整数となります。

3. 最終的な答え

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