2次関数 $y = x^2 + 4x + m$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $m$ の値と、そのときの接点の $x$ 座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 4x + m$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $m$ の値と、そのときの接点の $x$ 座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 + 4x + m$ のグラフが $x$ 軸と接するということは、$x$ 軸との共有点が1つしかないということです。これは、2次方程式 $x^2 + 4x + m = 0$ が重解を持つことを意味します。

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $0$ になることです。

この問題では、$a = 1$, $b = 4$, $c = m$ なので、判別式は

$D = 4^2 - 4(1)(m) = 16 - 4m$

となります。

$D = 0$ となるのは、

$16 - 4m = 0$

$4m = 16$

$m = 4$

のときです。

したがって、$m=4$ のとき、2次方程式は $x^2 + 4x + 4 = 0$ となり、これは $(x + 2)^2 = 0$ と因数分解できます。

よって、重解は $x = -2$ となります。

接点の $x$ 座標は $x = -2$ です。

3. 最終的な答え

$m = 4$, 接点の $x$ 座標は $-2$ です。