$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x^3y + xy^3$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x^3y + xy^3$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^3y + xy^3$ を因数分解します。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$

さらに、$x^2 + y^2$ を $(x+y)^2$ と $(x-y)^2$ を用いて変形します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

よって、$x^3y + xy^3 = xy((x+y)^2 - 2xy)$

次に、$x+y$、$x-y$、$xy$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

$x-y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

これらの値を $x^3y + xy^3 = xy((x+y)^2 - 2xy)$ に代入します。

$x^3y + xy^3 = \frac{1}{2}((\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(7 - 1) = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

3. 最終的な答え

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