$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、$\cos\theta = -\frac{1}{4}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

## 問題30

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、$\cos\theta = -\frac{1}{4}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係である $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して、$\sin\theta$ の値を求める。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に $\cos\theta = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$\sin^2\theta + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1$

$\sin^2\theta + \frac{1}{16} = 1$

$\sin^2\theta = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$

ここで、$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲では、$\sin\theta \geq 0$ なので、

$\sin\theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan\theta$ の値を求める。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ であるから、

$\tan\theta = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \times (-4) = -\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan\theta = -\sqrt{15}$

## 問題31

1. 問題の内容

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ の範囲で、$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係である $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して、$\cos\theta$ の値を求める。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ を代入すると、

$\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{1}{5} + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$

ここで、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ の範囲では、$\cos\theta < 0$ なので、

$\cos\theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

次に、$\tan\theta$ の値を求める。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ であるから、

$\tan\theta = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{-\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\cos\theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\tan\theta = -\frac{1}{2}$