問題32では、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\tan \theta = -\sqrt{2}$を満たす$\theta$に対して、$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求める問題です。 問題33では、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、与えられた三角関数の値を満たす$\theta$を求める問題です。

1. 問題の内容

問題32では、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\tan \theta = -\sqrt{2}$を満たす$\theta$に対して、$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求める問題です。

問題33では、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、与えられた三角関数の値を満たす$\theta$を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題32：

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$なので、$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta$となります。

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$の関係があります。

$\sin \theta$を$\cos \theta$で表したものを代入すると、$(\tan \theta \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$となります。

$\cos^2 \theta (\tan^2 \theta + 1) = 1$となり、$\cos^2 \theta = \frac{1}{\tan^2 \theta + 1}$となります。

$\tan \theta = -\sqrt{2}$を代入すると、$\cos^2 \theta = \frac{1}{(-\sqrt{2})^2 + 1} = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$となります。

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$となります。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\tan \theta = -\sqrt{2} < 0$なので、$\theta$は第2象限の角です。したがって、$\cos \theta < 0$なので、$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$となります。

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = (-\sqrt{2})(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$となります。

問題33：

(1) $\sin \theta = 0$を満たす$\theta$は、$0^\circ$と$180^\circ$です。

(2) $\sin \theta = 1$を満たす$\theta$は、$90^\circ$です。

(3) $\cos \theta = 1$を満たす$\theta$は、$0^\circ$です。

(4) $\cos \theta = 0$を満たす$\theta$は、$90^\circ$です。

(5) $\tan \theta = 0$を満たす$\theta$は、$0^\circ$と$180^\circ$です。

3. 最終的な答え

問題32：

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

問題33：

(1) $\theta = 0^\circ, 180^\circ$

(2) $\theta = 90^\circ$

(3) $\theta = 0^\circ$

(4) $\theta = 90^\circ$

(5) $\theta = 0^\circ, 180^\circ$