$6^{10}$ の桁数を求めなさい。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$とする。

1. 問題の内容

$6^{10}$ の桁数を求めなさい。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$とする。

2. 解き方の手順

$6^{10}$ の桁数を求めるために、常用対数 $\log_{10} 6^{10}$ を計算します。

まず、対数の性質を使って、$\log_{10} 6^{10} = 10 \log_{10} 6$ と変形できます。

次に、$\log_{10} 6$ を $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ で表します。

$6 = 2 \times 3$なので、$\log_{10} 6 = \log_{10} (2 \times 3)$です。

対数の性質より、$\log_{10} (2 \times 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3$となります。

したがって、$\log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$です。

$10 \log_{10} 6 = 10 \times 0.7781 = 7.781$

$6^{10}$ の桁数は、$\log_{10} 6^{10}$ の整数部分に1を加えたものです。

$\log_{10} 6^{10} = 7.781$ の整数部分は7なので、桁数は $7 + 1 = 8$ 桁です。

3. 最終的な答え

8