$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の各等式を満たす $\theta$ を求める問題です。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の各等式を満たす $\theta$ を求める問題です。

(1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\sin \theta$ が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ を探します。$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であることから、$\theta = 45^\circ$ が解の一つです。$\sin \theta$ は第1象限と第2象限で正の値をとるため、もう一つの解は $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ となります。しかし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$という条件があるので、答えは$45^\circ$です。

(2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\cos \theta$ が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を探します。$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることから、$\theta = 30^\circ$ が解です。$\cos \theta$ は第1象限で正の値をとります。第2象限では負の値をとるため、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲での解は $30^\circ$ のみです。

(3) $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta$ が $\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ を探します。$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であることから、$\theta = 30^\circ$ が解です。$\tan \theta$ は第1象限で正の値をとります。第2象限では負の値をとるため、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲での解は $30^\circ$ のみです。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 45^\circ$

(2) $\theta = 30^\circ$

(3) $\theta = 30^\circ$