次の3つの2次不等式を解きます。 (1) $x^2 - 2x - 15 < 0$ (2) $x^2 - 3x - 4 \geq 0$ (3) $x^2 - 4x + 4 \geq 0$

1. 問題の内容

次の3つの2次不等式を解きます。

(1) $x^2 - 2x - 15 < 0$

(2) $x^2 - 3x - 4 \geq 0$

(3) $x^2 - 4x + 4 \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 2x - 15 < 0$

左辺を因数分解します。

$(x - 5)(x + 3) < 0$

この不等式が成立するためには、$(x - 5)$と$(x + 3)$の符号が異なっている必要があります。

すなわち、

(i) $x - 5 < 0$ かつ $x + 3 > 0$、つまり $x < 5$ かつ $x > -3$。これは $-3 < x < 5$ となります。

(ii) $x - 5 > 0$ かつ $x + 3 < 0$、つまり $x > 5$ かつ $x < -3$。これはありえません。

したがって、解は $-3 < x < 5$ です。

(2) $x^2 - 3x - 4 \geq 0$

左辺を因数分解します。

$(x - 4)(x + 1) \geq 0$

この不等式が成立するためには、$(x - 4)$と$(x + 1)$の符号が同じか、または少なくとも一方が0である必要があります。

すなわち、

(i) $x - 4 \geq 0$ かつ $x + 1 \geq 0$、つまり $x \geq 4$ かつ $x \geq -1$。これは $x \geq 4$ となります。

(ii) $x - 4 \leq 0$ かつ $x + 1 \leq 0$、つまり $x \leq 4$ かつ $x \leq -1$。これは $x \leq -1$ となります。

したがって、解は $x \leq -1$ または $x \geq 4$ です。

(3) $x^2 - 4x + 4 \geq 0$

左辺を因数分解します。

$(x - 2)^2 \geq 0$

実数の2乗は常に0以上であるため、すべての実数 $x$ に対してこの不等式は成立します。

したがって、解はすべての実数です。

3. 最終的な答え

(1) $-3 < x < 5$

(2) $x \leq -1$ または $x \geq 4$

(3) すべての実数