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行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$ とベクトル $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の計算結果を求めます。 * $Ax$ * $x'A'$ * $x'Ax$ * $x'A'x$ * $x'A'Ax$ ここで、$x'$は$x$の転置を表し、$A'$は$A$の転置を表します。

代数学行列ベクトル行列の積転置行列
2025/6/10

1. 問題の内容

行列 A=(−312−4)A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} とベクトル x=(12)x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} が与えられたとき、以下の計算結果を求めます。
* AxAx
* x′A′x'A'
* x′Axx'Ax
* x′A′xx'A'x
* x′A′Axx'A'Ax
ここで、x′x'はxxの転置を表し、A′A'はAAの転置を表します。

2. 解き方の手順

(1) AxAx を計算します。
Ax=(−312−4)(12)=(−3(1)+1(2)2(1)+(−4)(2))=(−1−6) Ax = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3(1) + 1(2) \\ 2(1) + (-4)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix}
(2) A′A'を計算します。
A′=(−321−4) A' = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}
x′=(12)x' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}なので、x′A′x'A'を計算します。
x′A′=(12)(−321−4)=(1(−3)+2(1)1(2)+2(−4))=(−1−6) x'A' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(-3) + 2(1) & 1(2) + 2(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -6 \end{pmatrix}
(3) x′Axx'Axを計算します。
Ax=(−1−6)Ax = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix}なので、
x′Ax=(12)(−1−6)=1(−1)+2(−6)=−1−12=−13 x'Ax = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix} = 1(-1) + 2(-6) = -1 - 12 = -13
(4) x′A′xx'A'xを計算します。
A′x=(−321−4)(12)=(−3(1)+2(2)1(1)+(−4)(2))=(1−7)A'x = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3(1) + 2(2) \\ 1(1) + (-4)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix}
x′A′x=(12)(1−7)=1(1)+2(−7)=1−14=−13 x'A'x = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix} = 1(1) + 2(-7) = 1 - 14 = -13
(5) x′A′Axx'A'Axを計算します。
Ax=(−1−6)Ax = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix}なので、
A′(Ax)=A′(−1−6)=(−321−4)(−1−6)=(−3(−1)+2(−6)1(−1)+(−4)(−6))=(3−12−1+24)=(−923)A'(Ax) = A'\begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3(-1) + 2(-6) \\ 1(-1) + (-4)(-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 12 \\ -1 + 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 23 \end{pmatrix}
x′A′Ax=(12)(−923)=1(−9)+2(23)=−9+46=37 x'A'Ax = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9 \\ 23 \end{pmatrix} = 1(-9) + 2(23) = -9 + 46 = 37

3. 最終的な答え

* Ax=(−1−6)Ax = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix}
* x′A′=(−1−6)x'A' = \begin{pmatrix} -1 & -6 \end{pmatrix}
* x′Ax=−13x'Ax = -13
* x′A′x=−13x'A'x = -13
* x′A′Ax=37x'A'Ax = 37

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