円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = \sqrt{2}$, $BC = 4$, $CD = 3\sqrt{2}$, $DA = 2$ であるとき、$\angle A$、対角線 $BD$ の長さ、および四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = \sqrt{2}$, $BC = 4$, $CD = 3\sqrt{2}$, $DA = 2$ であるとき、$\angle A$、対角線 $BD$ の長さ、および四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\angle A$ を求める。

四角形 $ABCD$ は円に内接するので、向かい合う角の和は $180^\circ$ である。よって、$\angle C = 180^\circ - \angle A$ である。

$\triangle ABD$ において、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cos A = (\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cos A = 6 - 4\sqrt{2} \cos A$

$\triangle CBD$ において、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cos C = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cos (180^\circ - A) = 16 + 18 + 24\sqrt{2} \cos A = 34 + 24\sqrt{2} \cos A$

したがって、

$6 - 4\sqrt{2} \cos A = 34 + 24\sqrt{2} \cos A$

$-28 = 28\sqrt{2} \cos A$

$\cos A = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\angle A = 135^\circ$

(2) $BD$ の長さを求める。

$BD^2 = 6 - 4\sqrt{2} \cos A = 6 - 4\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 6 + 4 = 10$

$BD = \sqrt{10}$

(3) 四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求める。

四角形 $ABCD$ の面積は $\triangle ABD$ の面積と $\triangle CBD$ の面積の和である。

$S = \triangle ABD + \triangle CBD$

$= \frac{1}{2} AB \cdot AD \sin A + \frac{1}{2} BC \cdot CD \sin C$

$= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \sin 135^\circ + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin (180^\circ - 135^\circ)$

$= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$= 1 + 6 = 7$

3. 最終的な答え

$\angle A = 135^\circ$

$BD = \sqrt{10}$

$S = 7$