袋の中に白玉7個、赤玉5個が入っている。この袋から同時に5個の玉を取り出すとき、以下の確率を求めよ。 (1) 白玉が3個、赤玉が2個出る確率 (2) 同じ色の玉が3個出る確率

1. 問題の内容

袋の中に白玉7個、赤玉5個が入っている。この袋から同時に5個の玉を取り出すとき、以下の確率を求めよ。

(1) 白玉が3個、赤玉が2個出る確率

(2) 同じ色の玉が3個出る確率

2. 解き方の手順

(1) 白玉が3個、赤玉が2個出る確率を求める。

まず、5個の玉の取り出し方の総数を計算する。これは、12個の玉から5個を選ぶ組み合わせなので、$_{12}C_5$となる。

$_{12}C_5 = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$

次に、白玉3個、赤玉2個を取り出す組み合わせの数を計算する。白玉7個から3個を選ぶ組み合わせは、$_7C_3$。赤玉5個から2個を選ぶ組み合わせは、$_5C_2$。これらの積が求める組み合わせの数となる。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、白玉3個、赤玉2個を取り出す組み合わせの数は $35 \times 10 = 350$

求める確率は、 $\frac{350}{792} = \frac{175}{396}$

(2) 同じ色の玉が3個出る確率を求める。

同じ色の玉が3個出る場合、以下の2つのパターンが考えられる。

* 白玉が3個、赤玉が2個

* 赤玉が3個、白玉が2個

白玉が3個、赤玉が2個の場合は、(1)で計算したように350通り。

赤玉が3個、白玉が2個の場合を計算する。

白玉7個から2個を選ぶ組み合わせは、$_7C_2$。赤玉5個から3個を選ぶ組み合わせは、$_5C_3$。これらの積が求める組み合わせの数となる。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、赤玉3個、白玉2個を取り出す組み合わせの数は $21 \times 10 = 210$

同じ色の玉が3個出る組み合わせの数は $350 + 210 = 560$

求める確率は、 $\frac{560}{792} = \frac{70}{99}$

3. 最終的な答え

(1) 白玉が3個、赤玉が2個出る確率: $\frac{175}{396}$

(2) 同じ色の玉が3個出る確率: $\frac{70}{99}$