与えられた式 $x^2 - (3y+1)x + 2y^2 + 3y - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - (3y+1)x + 2y^2 + 3y - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式を $x$ の二次式と見て、因数分解を試みます。

まず、定数項 $2y^2 + 3y - 2$ を因数分解します。

$2y^2 + 3y - 2 = (2y-1)(y+2)$

次に、$x^2 - (3y+1)x + (2y-1)(y+2)$ を因数分解できるかどうか考えます。

因数分解できるとすれば、$(x + a)(x + b)$ の形になり、$a+b = -(3y+1)$ かつ $ab = (2y-1)(y+2)$ となる $a, b$ を探します。

$a = -(2y-1)$, $b = -(y+2)$ とすると、

$a + b = -(2y-1) - (y+2) = -2y + 1 - y - 2 = -3y - 1 = -(3y+1)$

$ab = -(2y-1) \cdot -(y+2) = (2y-1)(y+2)$

よって、$x^2 - (3y+1)x + 2y^2 + 3y - 2 = (x - (2y-1))(x - (y+2))$ と因数分解できます。

展開して確認すると、

$(x - (2y-1))(x - (y+2)) = (x - 2y + 1)(x - y - 2) = x^2 - xy - 2x - 2xy + 2y^2 + 4y + x - y - 2 = x^2 - 3xy - x + 2y^2 + 3y - 2 = x^2 - (3y+1)x + 2y^2 + 3y - 2$ となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(x - 2y + 1)(x - y - 2)$