与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 - x + 5y - 6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 - x + 5y - 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を$x$について整理します。

$2x^2 + (y-1)x - (y^2 - 5y + 6)$

定数項の$y^2 - 5y + 6$を因数分解します。

$y^2 - 5y + 6 = (y-2)(y-3)$

与えられた式は次のようになります。

$2x^2 + (y-1)x - (y-2)(y-3)$

たすき掛けで因数分解を試みます。

$2x^2 + (y-1)x - (y-2)(y-3) = (2x + ay + b)(x + cy + d)$ と置くと、

$2x^2 + (2cy + 2d + ay + b)x + (acy^2 + (ad+bc)y + bd) = 2x^2 + (y-1)x - (y^2 - 5y + 6)$

係数を比較して、

$2c+a=1$

$2d+b=-1$

$ac = -1$

$ad+bc = 5$

$bd = -6$

$2x^2 + (y-1)x - (y-2)(y-3) = (2x + y - 3)(x - y + 2)$

を展開してみます。

$(2x + y - 3)(x - y + 2) = 2x^2 - 2xy + 4x + xy - y^2 + 2y - 3x + 3y - 6$

$= 2x^2 -xy + x - y^2 + 5y - 6$

符号が一致しません。

$(2x - y + 3)(x + y - 2) = 2x^2 + 2xy - 4x - xy - y^2 + 2y + 3x + 3y - 6$

$= 2x^2 + xy - x - y^2 + 5y - 6$

正しいです。

3. 最終的な答え

$(2x - y + 3)(x + y - 2)$