与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + 4y - 6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + 4y - 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5y - 1)x + (2y^2 + 4y - 6)$

次に、$2y^2 + 4y - 6$ を因数分解します。

$2y^2 + 4y - 6 = 2(y^2 + 2y - 3) = 2(y + 3)(y - 1)$

元の式は、次のようになります。

$2x^2 + (5y - 1)x + 2(y + 3)(y - 1)$

因数分解の結果を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形でおくと、

$(2x + y + a)(x + 2y + b)$ の形になることが予想できます。

展開すると、

$2x^2 + 4xy + 2bx + xy + 2y^2 + by + ax + 2ay + ab$

$= 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2b+a)x + (b+2a)y + ab$

したがって、次の連立方程式が得られます。

$2b+a = -1$

$b+2a = 4$

$ab = -6$

$2(b+2a) = 2(4) = 8$

$2b + 4a = 8$

$2b + a = -1$

引くと、

$3a = 9$

$a = 3$

$2b + 3 = -1$

$2b = -4$

$b = -2$

$ab = 3(-2) = -6$

したがって、

$(2x + y + 3)(x + 2y - 2)$

展開して確認します。

$(2x + y + 3)(x + 2y - 2) = 2x^2 + 4xy - 4x + xy + 2y^2 - 2y + 3x + 6y - 6 = 2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + 4y - 6$

3. 最終的な答え

$(2x + y + 3)(x + 2y - 2)$