与えられた式 $(x^2 + 4x)^2 + 7(x^2 + 4x) + 12$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 + 4x)^2 + 7(x^2 + 4x) + 12$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 4x$ を $u$ と置きます。すると、与えられた式は次のようになります。

$u^2 + 7u + 12$

これは $u$ に関する二次式なので、因数分解できます。積が12、和が7になる2つの数を見つけると、3と4になります。したがって、

$u^2 + 7u + 12 = (u + 3)(u + 4)$

ここで、$u$ を $x^2 + 4x$ に戻すと、

$(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 4x + 4)$

それぞれの括弧内をさらに因数分解します。

最初の括弧 $x^2 + 4x + 3$ は、積が3、和が4になる2つの数1と3を使って因数分解できます。

2番目の括弧 $x^2 + 4x + 4$ は、積が4、和が4になる2つの数2と2を使って因数分解できます。つまり、$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ となります。

したがって、

$x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)$

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)^2$

したがって、元の式は次のように因数分解できます。

$(x + 1)(x + 3)(x + 2)^2$

3. 最終的な答え

$(x + 1)(x + 3)(x + 2)^2$