(1) すべての実数 $x$ に対して、$ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) すべての実数 $x$ に対して、$ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a=0$ のときを考える。$ax^2 + (a+1)x + a < 0$ は $(0+1)x + 0 < 0$ となり、$x < 0$ となる。これはすべての実数 $x$ に対して成り立つわけではないので、$a=0$ は不適。

$a \neq 0$ のとき、与えられた不等式がすべての実数 $x$ に対して成り立つためには、$y = ax^2 + (a+1)x + a$ のグラフが常に $x$ 軸より下になければならない。したがって、以下の2つの条件が必要となる。

* $a < 0$ （上に凸）

* 判別式 $D = (a+1)^2 - 4a^2 < 0$

判別式を計算する。

$D = (a+1)^2 - 4a^2 = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1 < 0$

$3a^2 - 2a - 1 > 0$

$(3a+1)(a-1) > 0$

$a < -\frac{1}{3}$ または $a > 1$

$a < 0$ かつ ($a < -\frac{1}{3}$ または $a > 1$) を満たす $a$ の範囲は、$a < -\frac{1}{3}$。

(2)

2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であることから、$a < 0$ であり、2次方程式 $ax^2 + 8x + b = 0$ の解が $x = -1, 5$ であることがわかる。

解と係数の関係より、

$-1 + 5 = -\frac{8}{a}$

$(-1)(5) = \frac{b}{a}$

最初の式より、

$4 = -\frac{8}{a}$

$4a = -8$

$a = -2$

次の式より、

$-5 = \frac{b}{a}$

$b = -5a$

$b = -5(-2) = 10$

3. 最終的な答え

(1) $a < -\frac{1}{3}$

(2) $a = -2$, $b = 10$