次の式を因数分解する。 (1) $(x-3)(x-4)(x+4)(x+5) - 180$ (2) $(x+1)(x+2)(x-2)(x-4) + 2x^2$

## 数学の問題

1. 問題の内容

次の式を因数分解する。

(1) $(x-3)(x-4)(x+4)(x+5) - 180$

(2) $(x+1)(x+2)(x-2)(x-4) + 2x^2$

2. 解き方の手順

(1)

$(x-3)(x-4)(x+4)(x+5) - 180$ を因数分解する。

まず、$(x-3)(x+4)$ と $(x-4)(x+5)$ を計算する。

$(x-3)(x+4) = x^2 + x - 12$

$(x-4)(x+5) = x^2 + x - 20$

$x^2 + x = A$ とおく。

$(A - 12)(A - 20) - 180 = A^2 - 32A + 240 - 180 = A^2 - 32A + 60$

$A^2 - 32A + 60 = (A - 2)(A - 30)$

$A = x^2 + x$ を代入する。

$(x^2 + x - 2)(x^2 + x - 30) = (x-1)(x+2)(x-5)(x+6)$

(2)

$(x+1)(x+2)(x-2)(x-4) + 2x^2$ を因数分解する。

まず、$(x+1)(x-2)$ と $(x+2)(x-4)$ を計算する。

$(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$

$(x+2)(x-4) = x^2 - 2x - 8$

$(x^2 - x - 2)(x^2 - 2x - 8) + 2x^2$

$x^2 - x = A$ とおく。

$(A - 2)(A - x - 8) + 2x^2 = A^2 - Ax - 8A - 2A + 2x + 16 + 2x^2 = A^2 - Ax - 10A + 2x^2 + 2x + 16$

$A = x^2 - x$ を代入する。

$(x^2 - x)^2 - (x^2 - x)x - 10(x^2 - x) + 2x^2 + 2x + 16$

$= x^4 - 2x^3 + x^2 - x^3 + x^2 - 10x^2 + 10x + 2x^2 + 2x + 16$

$= x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 12x + 16$

$= (x^2 + x - 4)(x^2 - 4x - 4)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x+2)(x-5)(x+6)$

(2) $(x^2 + x - 4)(x^2 - 4x - 4)$