三角形ABCにおいて、辺ABを3:5に内分する点をP、辺ACを3:2に内分する点をQとする。線分BQとCPの交点をRとする。直線ARと辺BCの交点をMとする。BC=21のとき、BMの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを3:5に内分する点をP、辺ACを3:2に内分する点をQとする。線分BQとCPの交点をRとする。直線ARと辺BCの交点をMとする。BC=21のとき、BMの長さを求める。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

問題文より、AP:PB = 3:5、CQ:QA = 2:3、BC=21である。

これらを代入すると、

$\frac{3}{5} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{6}{15} \cdot \frac{BM}{MC} = 1$

$\frac{BM}{MC} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

したがって、BM:MC = 5:2である。

BC = BM + MC = 21より、BM = 5k, MC = 2kとおくと

5k + 2k = 21

7k = 21

k = 3

BM = 5k = 5 * 3 = 15

3. 最終的な答え

BM = 15