三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=5$, $\angle ABC = 120^\circ$とする。 このとき、$AC$の長さ、$\sin \angle ABC$の値、$\sin \angle BCA$の値を求め、さらに、直線BC上に点Dを、$AD=3\sqrt{3}$かつ$\angle ADC$が鋭角となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし、三角形APCの外接円の半径をRとするとき、Rの取りうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=5$, $\angle ABC = 120^\circ$とする。

このとき、$AC$の長さ、$\sin \angle ABC$の値、$\sin \angle BCA$の値を求め、さらに、直線BC上に点Dを、$AD=3\sqrt{3}$かつ$\angle ADC$が鋭角となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし、三角形APCの外接円の半径をRとするとき、Rの取りうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$AC$の長さを余弦定理を用いて求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos \angle ABC$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos 120^\circ = 9 + 25 - 30(-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

次に、$\sin \angle ABC$の値を求める。

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

次に、正弦定理を用いて、$\sin \angle BCA$の値を求める。

$\frac{AB}{\sin \angle BCA} = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$

$\frac{3}{\sin \angle BCA} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\sin \angle BCA = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$

次に、点Dの位置を求める。

$\triangle ADC$において、$AD = 3\sqrt{3}$、$\angle ADC$が鋭角である条件と、$\triangle ABD$で考える。

$\angle ADC < 90^\circ$より、$\cos \angle ADC > 0$。

$\triangle ADC$に余弦定理を用いると、$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2AD \cdot DC \cos \angle ADC$

$7^2 = (3\sqrt{3})^2 + DC^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot DC \cos \angle ADC$

$49 = 27 + DC^2 - 6\sqrt{3} \cdot DC \cos \angle ADC$

$DC^2 - 6\sqrt{3} \cdot DC \cos \angle ADC - 22 = 0$

$\triangle ADC$に正弦定理を用いると、

$\frac{AD}{\sin \angle ACD} = \frac{AC}{\sin \angle ADC}$

$\frac{3\sqrt{3}}{\sin \angle ACD} = \frac{7}{\sin \angle ADC}$

$\sin \angle ADC = \frac{7 \sin \angle ACD}{3\sqrt{3}}$

$\angle ADC$が鋭角なので、点Dは点Cよりも右側に存在する必要がある。

また、$\triangle ADC$ において、$\frac{AD}{\sin C} = 2R_{ADC}$ であるから $2R_{ADC} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin \angle ACD}$

$\triangle APC$ の外接円の半径Rを考える。点PがBに限りなく近いとき、外接円は$\triangle ABC$の外接円に近づき、点PがDに限りなく近いとき、外接円は$\triangle ADC$の外接円に近づく。

$\triangle ABC$ の外接円の半径は $R_{ABC} = \frac{AC}{2\sin B} = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

$\triangle ADC$ の外接円の半径は $R_{ADC} = \frac{AC}{2\sin D}$で最小になるのは$R = \frac{3\sqrt{3}}{2}$なので、$AD = 3\sqrt{3}, AC=7$となるような三角形を考えれば良い。DがBC上にある条件より、$BD=CD - BC$

$\frac{3\sqrt{3}}{2} \leq R \leq \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

ア: 7

イ: 3

ウ: 2

エ: 3

オ: 3

カキ: 14

ク: 3

ケ: 2

コ: $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

最終的な答え: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $\leq R \leq \frac{7\sqrt{3}}{3}$

よって、$\frac{3\sqrt{3}}{2} \le R \le \frac{7\sqrt{3}}{3}$なので、$R$の取りうる値の範囲は$\frac{3}{2}\sqrt{3} \leq R \leq \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

ク: 3, ケ: 2, コ: $\frac{7\sqrt{3}}{3}$