三角形ABCにおいて、$AB=3, BC=5, \angle ABC = 120^\circ$である。 このとき、$AC$の値、$\sin{\angle ABC}$の値、$\sin{\angle BCA}$の値を求める。 また、直線BC上に点Dを、$AD = 3\sqrt{3}$かつ$\angle ADC$が鋭角となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし、$\triangle APC$の外接円の半径をRとするとき、Rのとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3, BC=5, \angle ABC = 120^\circ$である。

このとき、$AC$の値、$\sin{\angle ABC}$の値、$\sin{\angle BCA}$の値を求める。

また、直線BC上に点Dを、$AD = 3\sqrt{3}$かつ$\angle ADC$が鋭角となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし、$\triangle APC$の外接円の半径をRとするとき、Rのとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $AC$の値を求める。

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos{120^\circ} = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

(2) $\sin{\angle ABC}$の値を求める。

$\sin{\angle ABC} = \sin{120^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\sin{\angle BCA}$の値を求める。

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin{\angle BCA}} = \frac{AC}{\sin{\angle ABC}}$

$\frac{3}{\sin{\angle BCA}} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\sin{\angle BCA} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$

(4) $BD$の範囲を求める。

$\triangle ABD$において、余弦定理より、$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos{\angle ABD}$

$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 + BD^2 - 2 \cdot 3 \cdot BD \cdot \cos{120^\circ}$

$27 = 9 + BD^2 - 6 \cdot BD \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 + 3BD - 18 = 0$

$(BD + 6)(BD - 3) = 0$

$BD = -6, 3$

$BD>0$より、$BD = 3$

$\angle ADC$が鋭角なので、

$\cos{\angle ADC} > 0$

$\triangle ADC$において、余弦定理より、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$7^2 = (3\sqrt{3})^2 + CD^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$49 = 27 + CD^2 - 6\sqrt{3} \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$CD = BC - BD = 5 - BD >0$, $BD < 5$

$\triangle ADC$で、$AC^2 < AD^2 + CD^2$が成り立つ必要がある。

$7^2 < (3\sqrt{3})^2 + CD^2$

$49 < 27 + CD^2$

$CD^2 > 22$

$CD > \sqrt{22}$

$5-BD > \sqrt{22}$

$BD < 5 - \sqrt{22}$

$0 < BD < 5 - \sqrt{22} \approx 0.30$ または $BD=3$

$0 < BD \le 3$

(5) Rの範囲を求める。

Rの最大値は、PがBと一致するとき。$\triangle ABC$の外接円の半径。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = 2R$

$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

Rの最小値は、PがDと一致するとき。$\triangle ADC$の外接円の半径。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin{\angle ADC}} = 2R$

$\angle ADC$が最小となるとき、$\angle ADC = 90^{\circ}$

$\sin{\angle ADC} = 1$

$2R = AC = 7$

$R = \frac{7}{2}$

ただし、BDの範囲を考慮すると、$BD = 3$のとき、$\frac{CD}{\sin{\angle ADC}} = \frac{AD}{\sin{\angle ACD}}$

$CD = 2$, $AC = 7$, $AD = 3\sqrt{3}$

$\angle DAC = \theta$とすると、

$49 = 27 + 4 - 2 \cdot 3 \sqrt{3} \cdot 2 \cos{\theta}$

$18 = -12\sqrt{3} \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = -\frac{18}{12\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = 150^{\circ}$

したがって、$\angle ADC = 180^{\circ} - 150^{\circ} - \angle ACD = 30^{\circ} - \angle ACD$

$\frac{2}{\sin{\angle ADC}} = 2R$, $R = \frac{1}{\sin{\angle ADC}}$

$\frac{3\sqrt{3}}{2} \le R \le \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$AC = 7$

$\sin{\angle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin{\angle BCA} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$

$\frac{3\sqrt{3}}{2} \le R \le \frac{7\sqrt{3}}{3}$