与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めます。 (2) 行列 $A$ の $n$ 乗 $A^n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

(2) 行列 $A$ の $n$ 乗 $A^n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 固有値と固有ベクトルの計算

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。固有方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解きます。ここで $I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表します。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & -1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & -1 \\ -1 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = -\lambda((2-\lambda)^2 - 1) + 1(2-\lambda - 1) + 1(-1 + (2-\lambda))$

$= -\lambda(4 - 4\lambda + \lambda^2 - 1) + (1-\lambda) + (1-\lambda)$

$= -\lambda(\lambda^2 - 4\lambda + 3) + 2 - 2\lambda$

$= -\lambda(\lambda-1)(\lambda-3) + 2(1-\lambda)$

$= -\lambda(\lambda-1)(\lambda-3) - 2(\lambda-1)$

$= (\lambda - 1)(-\lambda(\lambda-3) - 2)$

$= (\lambda - 1)(-\lambda^2 + 3\lambda - 2)$

$= -(\lambda - 1)(\lambda^2 - 3\lambda + 2)$

$= -(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$

$= -(\lambda - 1)^2(\lambda - 2)$

固有方程式は $-(\lambda - 1)^2(\lambda - 2) = 0$ となり、固有値は $\lambda_1 = 1$ (重解) と $\lambda_2 = 2$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

- $\lambda_1 = 1$ のとき:

$(A - I)v = 0$ を満たすベクトル $v$ を求めます。

$A - I = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

この行列の行は全て比例するため、$-x - y + z = 0$ という式が得られます。つまり、$z = x + y$ です。

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表されます。

- $\lambda_2 = 2$ のとき:

$(A - 2I)v = 0$ を満たすベクトル $v$ を求めます。

$A - 2I = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

連立方程式を解くと、$x = z$, $x = -y$ となるため、$y = -x$, $z = x$ です。

固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

(2) $A^n$ の計算

$A$ は対角化可能であるかどうか確認します。$\lambda=1$は重解なので、線形独立な固有ベクトルが２つ存在する必要があります。実際、固有ベクトル$v_1$と$v_2$は線形独立です。したがって、$A$は対角化可能です。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ となります。

$A = PDP^{-1}$ より、$A^n = PD^nP^{-1}$ です。

$D^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}$

$P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2-2^n & 1-2^n & -1+2^n \\ -1+2^n & 0+2^n & 1-2^n \\ 1-2^n & 0-2^n & 2+2^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 固有値: $\lambda_1 = 1$ (重解), $\lambda_2 = 2$

固有ベクトル:

$\lambda_1 = 1$ に対して $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 2$ に対して $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) $A^n = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2-2^n & 1-2^n & -1+2^n \\ -1+2^n & 0+2^n & 1-2^n \\ 1-2^n & -1-2^n & 1+2^n \end{pmatrix}$